sin32及其小数sin32.1度的正弦值近似计算

1、      详细介绍通过为微积分知识，即使用微分法、泰勒展开法计算sin32°及sin32.1°近似值的主要思路和步骤。主要公式：sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,y=sinx，则y´=cosx，即dy=cosxdx。

2、∵(sinx)´=cosx

∴dsinx=cosxdx.

则有△y≈cosx△x，此时有：

sinx=sinx0+△y≈sinx0+cosx0△x。

需要注意的是，计算中的△x若是角度要转化为弧度。

 对于本题有：

x=32°=30°+△x,△x=0.035。

则：

sin32°≈sin30°+cos30°*0.035，

≈sin30°+cos30°*0.035，

≈0.53。

3、sinx，cosx在x=0处泰勒展开

根据泰勒幂级数展开，有：

sinx

=x-x3/3!+x5/5!-x7/7!+...+(-1)n*x2n+1/(2n+1)!,

cosx

=1-x2/2!+x4/4!+...+(-1)n*x2n/2n!。

4、sinx=sin(x-π/6+π/6)

=(√3/2)sin(x-π/6)+(1/2)cos(x-π/6)

=(√3/2)∑<n=0,∞>(-1)n*(x-π/6)2n+1/(2n+1)!

+(1/2)∑<n=0,∞>(-1)n*(x-π/6)2n/(2n)!

=(1/2)[1+√3(x-π/6)-(x-π/6)2/2!-√3(x-π/6)3/3!

+(x-π/6)4/4!+√3(x-π/6)5/5!-...]

=1/2+1/2[√3(x-π/6)-(x-π/6)2/2!-√3(x-π/6)3/3!

+(x-π/6)4/4!+√3(x-π/6)5/5!-...]。

5、对于本题：x-π/6=8π/45-π/6≈0.035,则：

sin32°

≈1/2+(√3/12)*0.035*(6-0.0352-√3*0.035)

≈0.53。

6、x=32.1°=30°+△x,△x=0.037。

则：

sin32.1°≈sin30°+cos30°*0.037，

≈sin30°+cos30°*0.037，

≈0.532。

7、sinx=x-x3/3!+x5/5!-x7/7!+...+(-1)n*x2n+1/(2n+1)!,

cosx=1-x2/2!+x4/4!+...+(-1)n*x2n/2n!。

8、x-π/6=107π/600-π/6≈0.037,则：

sin32.1°

≈1/2+(√3/12)*0.037*(6-0.0372-√3*0.037)

≈0.532。