双曲正弦的反函数怎么推导？

1、双曲正弦函数y=sinh(x)的图像如下。

2、双曲正弦函数的解析式，可以写成：

y=sinh(x)=(e^x-1/e^x)/2。

3、反函数，就是把y和x颠倒位置：

x=sinh(y)=(e^y-1/e^y)/2

然后需要解方程，求出y关于x的表达式。

4、假设e^y=Y>0，则上式可以化为：

Y^2-2xY-1=0.

解上面的一元二次方程，即可用x表示出Y的表达式，如图所示。

5、因为Y=e^y>0，所以：

y=ln(x+sqrt(x^2+1)).

这是双曲正弦函数的反函数。

6、用【网络画板】作图：log(x + sqrt(x ^ 2 + 1))。

图像如下紫色曲线，与双曲正弦函数的图像对称。