【抽象代数】3阶循环群的表示

1、三阶循环群，同构于平面上旋转120°的变换g所生成的循环群。

g的旋转矩阵表示是：

g=RotationMatrix[120 Degree]

2、g所生成的循环群的矩阵表示是：

{g, g.g, g.g.g}

这恰好是三阶循环群的一种二维表示方法。

3、另一方面，考虑一个变换：

h:{x,y}→{-x-y,x}

可以证明，这是一个三阶变换，可以生成一个三阶循环群。

实际上，变换h也可以写为矩阵的形式：

h[{x_, y_}] := {{-1, -1}, {1, 0}}.{x, y}

4、这样，h就可以用矩阵表示出来。

5、进而，有给出三阶循环群的一种二维表示：

{h, h.h, h.h.h}

6、实际上，对于任意的可逆矩阵p = {{a, b}, {c, d}}，都可以给出三阶循环群的一个二维表示：

FullSimplify[p.#.Inverse[p]] & /@{h, h.h, h.h.h}

7、另外，如果把三阶循环群视为正三角形的三个顶点绕中心的旋转，把正三角形的三个顶点记为1、2、3，那么，三阶循环群就可以用置换表示：

()、(2,3,1)、(3,1,2)

对应的矩阵表示是三维的：