用Desmos绘制极坐标函数的图像
Desmos作为一款优秀的数学函数作图软件，可以绘制多种类型的二维函数图像，包括：显函数、隐函数、极坐标函数。
而且，Desmos能够把除了字母x、y、r、θ、e、π以外的其它字母转变为“滑块”，实现了动态效果。
r=r(θ)表示的是极坐标函数，当θ从0变化到2π，得到的动态图形，正是极坐标图形的画图过程。
下面，我就介绍一下用Desmos的具体步骤。
工具/原料
电脑
Desmos网页版
智能手机
Desmos（apk软件）
玫瑰线
先来画几个漂亮的极坐标图形。
玫瑰线：
三叶玫瑰线——r=sin(3θ)和r=cos(3θ)
四叶玫瑰线——r=sin(2θ)和r=cos(2θ)
五叶玫瑰线——r=sin(5θ)和r=cos(5θ)
考虑一般情形r=sin(aθ)，当a取不同的值的时候，会是什么情形呢？让我们来看下面的动画效果：
r=\sin (a\theta )和 r=\cos (a\theta )
当a从-10增加到10，曲线的形状会发生剧烈的变化。
而当a分别位于分子、分母的时候，又是截然不同的变化：
r=\sin (\frac{\theta }{a}) 和 r=\cos (\frac{\theta }{a})
让玫瑰线绕原点旋转起来。
r=sin(3θ+a)
Desmos输入法是：
r=\sin (a+3\theta )
其中，a是曲线的旋转参数，当a从0变为2π，代表曲线绕原点顺时针旋转了一圈。
看看玫瑰线是怎么画出来的！
r=r(θ){0<θ<a}
把a视为绘图参数，整个图形随着a的增加，慢慢的显现出来。
以“四叶玫瑰线”为例，Desmos输入：
r=\sin (2\theta )\left\{0<\theta <a\right\}
同样的，所有的极坐标图形的画图过程，都可以用这种方法看出它的画图过程，只不过需要改变一下a的取值范围。
更多著名曲线
心形线。
Desmos输入：
r=1+\sin \left(\theta \right)
及其它类型，如图。
另一种心形线：
r=\arccos \left(\sin \left(\theta \right)\right)
费马螺旋线。
其方程式是：r^2=θ，
画图过程的Desmos输入：
r=\sqrt{\theta }\left\{0<\theta <a\right\}，
遗憾的是，这个图形在Desmos里面只能画出0到12π的范围！
阿基米德螺线的画图过程。
Desmos分别输入：
r=\theta \left\{0<\theta <a\right\}
（其中，a从0到10π）；
思考一下，怎么让阿基米德螺线绕着原点旋转？
双曲螺旋线，是倒数形式的阿基米德螺线。Desmos输入：
r=\frac{1}{\theta }
而它的画图过程是：
r=\frac{1}{\theta }\left\{0<\theta <a\right\}
（其中，a的范围是从1.5到10π）。
伯努利双扭线的出图过程。
极坐标方程是：r^2=sin(2θ)和r^2=cos(2θ)
但是，Desmos不能这样输入，左边必须是r，不可以用r的其它形式。输入法如下：
r=\sqrt{\sin \left(2\theta \right)}\left\{0<\theta <a\right\}
r=\sqrt{\cos \left(2\theta \right)}\left\{0<\theta <a\right\}
未命名曲线。
r=2sin(θ)+4cos(2θ)
它的绘图过程如下：
r=2\sin \left(\theta \right)+4\cos \left(2\theta \right)\left\{0<\theta <2a\right\}
其中，a只需要从0到π，就可以把图画完整！
用b作为它的旋转参数，也就是把自变量θ变成θ+b：
r=2\sin \left(\theta +b\right)+4\cos \left(2\left(\theta +b\right)\right)\left\{0<\theta <2a\right\}
旋转过程如下图。
无数可能
考虑这样的极坐标函数：
r=sin(θ)+sin(2θ)+sin(3θ)的图形。
这个图形的画图过程是：
r=\sin \left(\theta \right)+\sin \left(2\theta \right)+\sin \left(3\theta \right)\left\{0<\theta <a\right\}
再把正弦函数全部替换为余弦函数，就成为另一番情形，Desmos输入：
r=\cos \left(\theta \right)+\cos \left(2\theta \right)+\cos \left(3\theta \right)\left\{0<\theta <a\right\}
看看原点附近的细节——放缩功能——鼠标放在原点附近，滚动鼠标中间的滑轮。
如果把θ前面的系数变成不同的参数呢？
r=\cos \left(a\theta \right)+\cos \left(b\theta \right)+\cos \left(c\theta \right)
分别让a、b、c运动，产生如下动态图。
如果让a、b、c以不同的速度一起运动，会是什么情景？自己去试试！
怎么让这样的曲线绕着原点旋转起来呢？
只需要把自变量θ置换为θ+d，其中d是旋转参数：
r=\cos \left(a\left(d+\theta \right)\right)+\cos \left(b\left(d+\theta \right)\right)+\cos \left(c\left(d+\theta \right)\right)
当a=b=1，c=3.1时，情形如下图。
如果正弦函数和余弦函数交叉使用的话，又会产生很多不同的情形。只举一个例子，模仿上一步的旋转图形：
r=\cos \left(a\left(d+\theta \right)\right)+\sin \left(b\left(d+\theta \right)\right)+\cos \left(c\left(d+\theta \right)\right)
上图的画图过程是：
r=\cos \left(a\theta \right)+\sin \left(b\theta \right)+\cos \left(c\theta \right)\left\{0<\theta <d\right\}
其中，d是画图过程参数。
自己去看看密集区的细节吧！
如果不止三项，而是更多项呢？
四项余弦之和：
r=\cos \left(a\theta \right)+\cos \left(b\theta \right)+\cos \left(c\theta \right)+\cos \left(d\theta \right)
五项余弦之和：
r=\cos \left(a\theta \right)+\cos \left(b\theta \right)+\cos \left(c\theta \right)+\cos \left(d\theta \right)+\cos \left(f\theta \right)
（注意，字母e是常数，因此引进的新参数不是e，而是f）
仔细看a、b、c、d、f的取值。
如果θ替换为θ的其它函数形式，如θ的多项式、θ的多重正弦余弦嵌套等等，各种可能实在是太多了，无穷无尽。
举个简单的例子：
r=\sin \left(\cos \left(2\theta \right)\right)+\cos \left(\sin \left(\theta \right)\right)\left\{0<\theta <a\right\}
和
r=2\sin \left(\cos \left(3\theta \right)\right)+\cos \left(\sin \left(3\theta \right)\right)\left\{0<\theta <a\right\}
可以说，任何方法，都不可能把所有情形对应的极坐标曲线全部显示出来。
注意事项
Desmos确实好用，反应快，可互动。
个人感觉电脑上网页版Desmos比手机上Desmos软件好用，不过关键还是看网速。