用Mathematica求给定双线性型的标准正交基

1、假设向量u={a,b}是标准正交基里面的一个向量，那么：

u'.A.u=1

这其实是一个不定方程，可以用a表示b：

s1=Solve[u.A.u == 1, b]

b有两个解，我们可以选择第一个。

2、设v={c,d}是标准正交基里面的另一个向量，同样可以用c表示d：

s2 = Solve[v.A.v == 1, d]

3、这样，可以分别写出u和v：

u = u /. s1[[1]]

v = v /. s2[[1]]

4、u和v关于型正交，就是：

u'.A.v=0

可以用a把c表示出来：

s3 = Solve[u.A.v == 0, c]

5、重新写u和v：

u = u /. s3[[1]]

v = Simplify[v /. s3[[1]]]

6、实际上，我们还可以赋予a一个具体的值，比如a->Sqrt[2/3]：

u = u /. a -> Sqrt[2/3]

v = v /. a -> Sqrt[2/3]

得到的标准正交基如下。

7、a->0的结果是：

u = u /. a -> 0

v = v /. a -> 0