高一基本不等式解题方法

       很多同学对高一基本不等式这个内容没有很好掌握，我来给同学们分享一下我对基本不等式的理解。

方法/步骤

就拿道题来说。

由己知条件可得a+b=1-c；a2+b2=1-c2，由（a+b）2=a2+b2+2ab可得ab=

(a+b)2−(a2+b2)

2

=c2-c，所求式子a3+b3+c3可以用c表示，由a2+b2≥2ab可以求出c的范用．再利用导数求关于c的函数的单调性可求最值．

 

解：∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1，

 

∴a+b=1-c，a2+b2=1-c2，ab=

(a+b)2−(a2+b2)

2

=

(1−c)2−(1−c2)

2

=c2-c，

 

∴a3+b3+c3=（a+b）（a2+b2-ab）+c3=（1-c）（1-c2-（c2-c））+c3=3c3-3c2+1，

 

又∵a2+b2≥2ab，∴1-c2≥2（c2-c），解得-

1

3

≤c≤1，

 

令f（x）=3x3-3x2+1  （-

1

3

≤x≤1），

 

则f′（x）=9x2-6x=9x（x-

2

3

），

 

则当x∈[-

1

3

，0）∪（

2

3

，1]时，f′（x）＞0，当x∈（0，

2

3

）时，f′（x）＜0，

 

则f′（x）在[-

1

3

，0）、（

2

3

，1]上单调递增，在（0，

2

3

）上单调递减，

 

且f（-

1

3

）=3×（-

1

3

）3-3×（-

1

3

）2+1=

5

9

，f（

2

3

）=3×（

2

3

）3-3×（

2

3

）2+1=

5

9

，

 

故a3+b3+c3的最小值是

5

9

，

 

故选：B．

虽然说这一道题比较麻烦但它体现了基本不等式的最基础解法，如果你可以将它研究明白，肯定会对你有所帮助。

由于文字版解析有的地方有所缺漏，我给你们准备了word版解析截图，如下。

注意事项

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希望对你们能有所帮助。