两种求过(√2,3)与4x^2+16y^2=64相切的直线方程

1、解法一：

【思路】：直线与椭圆交点知识求解。

设所求的直线方程为:y-3=k(x-√2)

即：y=3+k(x-√2)

代入椭圆方程为：

4x^2+16[3+k(x-√2)]^2=64

4x^2+16[9+6k(x-√2)+k^2(x-√2)^2]=64

x^2+4[9+6k(x-√2)+k^2(x-√2)^2]=16

x^2+4*9+24kx-24√2k+4k^2x^2-8√2k^2x+8k^2-16=0

(1+4k^2)x^2+(24k-8√2k^2)x+8k^2+20-24√2k =0

(1+4k^2)x^2+8(3k-√2k^2)x+4(2k^2+5-6√2k)=0

2、因为相切，所以只有一个交点，所以判别式△=0，即：

△=b^2-4ac

  =64(3k-√2k^2)^2-4(1+4k^2)*4(2k^2+5-6√2k)=0

即：

4(3k-√2k^2)^2-(1+4k^2)(2k^2+5-6√2k)=0

36k^2-24√2k^3+8k^4-2k^2-5+6√2k-8k^4-20k^2+24√2k^3=0

36k^2-2k^2-5+6√2k-20k^2=0

14k^2+6√2k-5=0

利用求根公式得到：

  k1,2=(-3√2±2√22)/14

得两条直线为：

y-3=[(-3√2±2√22)/14]*(x-√2)

1、 [思路]：用导数的几何意义，即曲线的斜率来求解。

  对椭圆方程求导得到：

4x^2+16y^2=64

X^2+4y^2=16,求导:

2x+8yy’=0,即：y’=-x/4y.

2、设切点的坐标为A（m,n），则经过该点的切线的斜率k=y’=-m/4n.

根据直线的斜率得到关系式：

K=-m/4n=(n-3)/(m-√2)

化简得到：

m^2+4n^2=12n+√2m…..(1)

m^2+4n^2=16…..(2).

连立方程得到：

16=12n+√2m

 m=4(4-3n)/√2，代入方程(2),得到：

4^2(4-3n)^2/2+4n^2=16

2(4-3n)^2+n^2=4

19n^2-48n+28=0

n1,2=（24±2√11）/19

3、k=-m/4n

=-[4(4-3n)/√2]/4n

=(3n-4)/√2n

k1=[3*（24+2√11）/19-4]/[√2*（24+2√11）/19]

 =(38√22-57√2)/2*133

 =(-3√2+2√22)/14.

同理，可求出k2=(-3√2-2√22)/14.

进一步得到切线的方程为：

y-3=[(-3√2±2√22)/14]*(x-√2)