【微分几何】正方形的弧长函数及其反函数

1、先来构造弧长函数：

Floor[(2 x)/Pi] Sqrt[2] +Sqrt[2] Sin[x + Floor[(2 x)/Pi]*(Pi/2)]^2

2、这是一个单调递增函数，其图像如下：

3、试图通过解方程的方法，来求取反函数，结果是不能求取。

4、用分段函数来表示弧长函数：

l[x_] := Piecewise[{{Sqrt[2] Sin[x]^2, 0 <= x <= Pi/2},

   {Sqrt[2] + Sqrt[2] Cos[x]^2, Pi/2 < x <= Pi},

   {2 Sqrt[2] + Sqrt[2] Sin[x]^2, Pi < x <= Pi*3/2},

   {3 Sqrt[2] + Sqrt[2] Cos[x]^2, Pi*3/2 < x <= Pi*2}}]

用这个分段函数解方程，可以算出反函数：

5、把这个求解结果，转化为分段函数，并绘制图像：

ll[t_] := 

 Piecewise[{{1/2 ArcCos[(Sqrt[2] - 2 t)/Sqrt[2]], 0 <= t < Sqrt[2]},

   {1/2 (2 \[Pi] - ArcCos[-((3 Sqrt[2] - 2 t)/Sqrt[2])]), 

    Sqrt[2] <= t < 2 Sqrt[2]},

   {1/2 (2 \[Pi] + ArcCos[(5 Sqrt[2] - 2 t)/Sqrt[2]]), 

    2 Sqrt[2] <= t < 3 Sqrt[2]},

   {1/2 (4 \[Pi] - ArcCos[-((7 Sqrt[2] - 2 t)/Sqrt[2])]), 

    3 Sqrt[2] <= t < 4 Sqrt[2]}}]

Plot[{l[x], ll[x]}, {x, 0, 2 Pi}, AspectRatio -> Automatic, 

 PlotRange -> {{0, 2 Pi}, {0, 2 Pi}}, ImageSize -> {360, 360}]

6、对这个分段函数进行整理，可以集约化为一个统一的表达式：

7、通过图像可以证明，这个函数确实是弧长函数的反函数。