多边形的等角共轭点的简单介绍

1、        先来看一下怎么绘制对称点。

        要作某个特定的点X关于直线l的对称点Y，方法很简单：

        在直线l上任取两个点M、N；以M为圆心，MX为半径作圆M；以N为圆心，NX为半径作圆N；那么圆M和圆N相交的另一个点是Y。

        但是，当用鼠标拖动点X到直线的另一侧，它的对称点Y会与X重合。所以说，这个方法作出的对称点是不完备的。

        那么怎么作图是完备的呢？这其实在几何画板里面有内置工具：

        用鼠标左键快速双击直线l，再选中点X，“变换”——“反射”，这个反射点就是X关于l的对称点。

2、        三角形情形

        给定△PQR，以及所在平面上的两个点E、F，设△PQR的内心为O。如果E、F同时满足三个条件：PO是∠EPF的平分线，QO是∠EQF的平分线，RO是∠ERF的平分线；那么，E和F关于△PQR互为等角共轭点，F称为E关于△PQR的等角共轭点。

        作图方法：

        作E关于PO的对称点E'';

        作E关于QO的对称点E';

        连结并延长线段PE''和QE'，交于F；

        可以证明，∠ERO=∠FRO。

        事实上，平面上几乎所有的点，都存在唯一的关于三角形的等角共轭点，除了下面这些点：三角形外接圆上的点、三角形三条边所在直线上的点。

        如图，三角形外接圆上的点（三角形三个顶点除外）的等角共轭点是无限远点，图中的三条蓝色虚线是平行的。

        把这个保存为自定义工具“三角形等角共轭点”：

        先作出△ABC以及一对等角共轭点E、F，把辅助图形隐藏起来；

        再选中△ABC以及等角共轭点E、F，然后看动态图“自定义工具三角形等角共轭点”。

3、        五边形情形

        关于五边形，平面上最多只有一对点互为等角共轭点，它们是与五边形的五条边所在的直线都相切的椭圆（或者双曲线）的两个焦点；换言之，如果不存在与五边形的五条边所在的直线都相切的有心二次曲线，那么，平面上任意点都没有关于这个五边形的等角共轭点。

        举个例子，如图：

        给出一个凸五边形；

        构造凸五边形的内切椭圆（这是唯一的）；

        确定椭圆中心；

        再确定椭圆的对称轴；

        以椭圆短轴端点为圆心、长半轴为半径作圆，与长轴交于F1、F2。

        这里，F1、F2既是椭圆的焦点，又是凸五边形在这个平面上唯一的一对等角共轭点。

1、        三角形任意一对等角共轭点在三边所在直线上的投影（共计六个点）共圆。

        这个命题及其逆命题，对于任意多边形也都成立——若一个点在n边形（n≥4）的n条边所在直线上的投影共圆，那么，这个点必定存在关于这个n边形的等角共轭点。

2、        三角形的不同的中心的等角共轭点是什么？

        内心的等角共轭点是内心；

        垂心和外心互为等角共轭点；

        重心的等角共轭点是图中的红点。

1、        给定△PQR，设E是曲线∑上的自由点，E关于△PQR的等角共轭点是F，让E遍历曲线∑，F的轨迹是Ω。那么，∑和Ω关于△PQR互为等角共轭（形），∑关于△PQR的等角共轭（形）是Ω。

        用几何画板实际操作，可以发现：

        三角形内切圆的等角共轭形是一个不规则的三尖内摆线，而且三个尖恰位于三角形的三个顶点上；

        三角形内切圆的同心圆的等角共轭形是一系列不规则的内摆线，图形比较奇异；

        三角形九点圆的等角共轭形是一个不规则的变异三尖内摆线，而且也包含了三角形的三个顶点；

2、        过三角形内心的直线的等角共轭形好像是一条双曲线；

        圆的外接圆的切线的等角共轭形好像是一条抛物线（毕竟，切点的等角共轭点在无穷远点）；

        如果直线与三角形的外切圆相离，那么它的等角共轭形应该是椭圆。

        这些我都没有严格证明，算不得真。大家如果想要引用这里的结论，请自己先进行证明！