如何画函数y=2x^3-x的图像示意图

1、       本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限和奇偶性等性质，介绍函数用导数工具画函数y=2x^3-x的图像的主要步骤。

1、根据函数特征，函数为三次函数的和函数，函数自变量可以取全体实数，即定义域为：(-∞，+∞）。

2、通过函数的一阶导数，求出函数驻点，由一阶导数的正负，判断函数的单调性，进而得到函数的单调区间。

3、二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍然是x的函数，则y'=f'(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。

4、函数的极限，对于本题，主要是在正无穷处和负无穷处的极限，即求出函数在无穷处的极限。

5、根据函数的奇偶性的判断方法，对于本题由于f(-x)=-f(x),所以函数为奇函数，函数图像关于原点对称，主要判断过程如下图所示：

6、函数图像五点示意图，列图表解析函数上的五点图如下表所示。

7、根据以上函数的定义域、单调性、凸凹性、奇偶性以及极限等相关性质，并在函数的定义域前提下，即可简要画出函数的图像，且该图像关于原点对称。

1、已知函数y=2x^3-x，介绍计算求:(1)求函数f(x)在点A(3,f(3))处的切线；(2)求函数f(x)单调区间及极值。

2、解：问题（1）：

当x=3时，y(1)=2*3^3-1*3=51;

y=2x^3-x,求导得：

y´=4x^2-1,当x=3时，

y´(1)=4*3^2-1=35，即为切线的斜率。

则切线的方程为:

y-51=35(x-3),化为一般方程为：

y-35x+54=0。

3、问题(2)：

y´=4x^2-1，令y´=0，则x=±1/2 .

1).当x∈(-∞，-1/2 )和(1/2  ，+∞)时，

y´>0,此时函数y为单调增函数，所求区间为单调增区间。

2).当x∈[-1/2  ,1/2  ]时，

y´<0,此时函数y为单调减函数，所求区间为单调减区间。

则在x1=-1/2  处取极大值，在x2=1/2  处取极小值。

所以：

极大值=f(-1/2 )

=-2(1/2  )3-(-1/2  )=1/4 ;

极小值=f(14 )

=2(1/2  )3-(1/2  )=-1/24。