【Mathematica】绘制曲线曲率圆圆心的轨迹

1、假设曲线的参数方程是r[t]，先求出曲线的【单位切向量】：

qie[t_] := Evaluate[D[r[t], t]/Sqrt[D[r[t], t].D[r[t], t]] // FullSimplify]

对参数方程求导，得到切向量，再归一化处理，才是单位切向量。

2、再求曲线的单位法向量：

对【单位切向量】求导，得到法向量；

对法向量进行归一化处理，得到单位法向量。

dr[t_] := Evaluate[D[qie[t], t]]

fa[t_] := Evaluate[dr[t]/Sqrt[dr[t].dr[t]] // FullSimplify]

注意，一定是对【单位切向量】求导才能得到法向量，而如果直接对r[t]的导数求导，得到的一般不是法向量。

3、曲率半径是曲率的倒数：

qulvr[t_] := 1/ArcCurvature[r[t], t]

曲率中心，就是在法向量的方向上：

qulvzx[t_] := Evaluate[r[t] + qulvr[t]*fa[t]]

4、再把曲率圆画出来：

Circle[qulvzx[tt], qulvr[t] /. t -> tt]

这里要遵守一个求导原则：先求导，在赋值。

否则机器会报错。

5、然后把曲率圆圆心轨迹画出来。

这个轨迹曲线的参数方程，恰恰就是qulvzx[t]。

ParametricPlot[qulvzx[t], {t, 0, 2 Pi}, PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 1]]

而原曲线的参数方程是r[t_] := (Sin[2 t]) {Cos[t], Sin[t]}。

6、更换原曲线的参数方程：

r[t_] := (Sin[3 t]) {Cos[t], Sin[t]}

这是一条三叶玫瑰线。

7、三叶玫瑰线的极坐标方程，加上一个正数，会“膨胀”起来：

r[t_] := (1/3 *(2 + Sin[3 t])) {Cos[t], Sin[t]}

8、当曲率中心完全位于闭曲线内部，且曲线是简单曲线，那么这条曲线一定是凸曲线：

r[t_] := (1/21 (20 + Sin[3 t])) {Cos[t], Sin[t]}

9、再试试它：

(1/51 (50 + Sin[5 t])) {Cos[t], Sin[t]}

10、如果一条平面闭曲线，本身不是简单曲线，就一定不是凸曲线。

(1/2 (1 + Sin[2 t])) {Cos[t], Sin[t]}