函数y=√x(85x+12.x)的图像示意图

1、※.函数的定义域

∵√x有x≥0；对12/x有x≠0.

∴函数的定义域为：(0，+∞）。

2、∵y=√x(85x+12/x)

=85x^(3/2)+12x^(-1/2),对x求导得：

∴dy/dx

=(3/2)*85x^(1/2)-(12/2)x^(-3/2)

=(1/2)x^(-3/2)(3*85x²-12).

令dy/dx=0,则x²=4/85.

又因为x>0，则x=(2/85)√85≈0.22.

(1)当x∈(0, (2/85)√85)时，dy/dx＜0,函数y为单调减函数；

(2)当x∈[(2/85)√85,+∞)时，dy/dx＞0,函数y为单调增函数。

3、∵dy/dx=(1/2)x^(-3/2)(3*85x²-12)，

∴d^2y/dx^2

=-3/4*x^(-5/2)(3*85x²-12)+3*85x*x^(-3/2)

=-3/4*x^(-5/2)(3*85x²-12)+3*85x^(-1/2)

=-3/4x^(-5/2)(3*85x²-12-4*85x²)

=3/4x^(-5/2)(85x²+12)>0,则：

函数y在定义域上为凹函数。

4、※.函数的极限

Lim(x→0) √x(85x+12/x)=+∞

Lim(x→+∞) √x(85x+12/x)=+∞。

5、综合以上函数的定义域、单调性、凸凹性等性质，解析函数的图像示意图如下。