导数画分式函数y=3/x+5x^2的图像

1、       本题主要介绍函数y=3/x+5x^2的定义域、值域、单调性、凸凹性，并通过导数知识计算该函数的单调区间和凸凹区间。

2、      函数的定义域，根据函数特征，有分式函数，函数自变量可以取非零实数，即定义域为：(-∞，0,）∪（0，+∞）。

3、函数的单调性，通过函数的一阶导数，判断函数的单调性。

因为y=3/x+5x^2，对x求导有：

所以dy/dx=-3/x^2+10x,即：

dy/dx=(10x^3-3)/x^2，令dy/dx=0,则：

10x^3-3=0，即x0=3√(3/10)，此时有：

(1)当x∈(-∞，0），（0，3√(3/10)）时，

dy/dx<0，则函数为减函数；

(2)当x∈(3√(3/10) ,+∞）时，

dy/dx>0，则函数为增函数。

4、函数的凸凹性，通过函数的二阶导数，解析函数的凸凹性。

因为dy/dx=-3/x^2+10x=-3x^(-2)+10x,

所以d^2y/dx^2=6x^(-3)+10=2(5x^3+3)/x^3,

令d^2y/dx^2=0,则x1=-3√(3/5).

结合函数定义域，判断函数凸凹性为：

(1)当x∈(-∞，-3√(3/5)]和（0，+∞）时，

d^2y/dx^2>0，故此时函数y为凹函数；

（2）当x∈（-3√(3/5)，0）时，

d^2y/dx^2<0，故此时函数y为凸函数。

5、函数的极限，判断函数在无穷大处的极限。

6、函数部分点解析表如下：

例如当x=-1时，y=3/(-1)+5*(-1)^2=2.

即经过点(-1,2)。

7、函数的示意图，综合以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性等性质，函数的图像如下。