怎么计算Poincare圆盘里面两点间的距离？

1、约定：本文如果不特别说明，那么所有提到的直线、距离、角度等概念，都特指双曲几何里面的概念；Poincare圆盘是平面上的单位圆内部的区域。

如下图，A、B之间的线段是弧AB，直线AB指的是弧DABC。

2、那么，A、B之间的距离是什么？

提醒你一下，这个距离绝对不是欧几里德几何里面的圆弧AB的长度。

比如，直线AB的长度是无限大的，也就是说，弧DABC的长度是无限大。

3、设A的坐标是(x,y)，B的坐标是(m,n)，那么，A、B之间的距离可以计算出来，公式如下图所示。

4、如果把Poincare圆盘置于复平面上，那么：

A=x+I y,B=m+I n

此时的公式可以很容易的给出来。

5、这样，OA之间的距离，可以简单的表示为：

ln[(1+|A|)/(1-|A|))

6、特别的，C是Poincare圆盘边界上的点，OC的距离就是无限大。