老唐杠杆数学解题技巧之函数中求解最值问题

1、猛然间，你发现自己还是有思路的，甚至煞有介事的想到了分a=0和 a≠0 两种情况讨论.

2、当 a≠0时，是不是又要分a>0和 a<0 ？你想是的！但想想又没有必要，这个函数f(x)不就是二次函数的“一小截”吗？而且对称轴还是固定的，为 x=1 .

3、直接

4、再一线性规划规划，答案呼之欲出。a+2b≤2  .

别慌！我们换个角度。把英海矿f(x)看作是  ，令f(x)=( x² -2x)a+（-2b）+2，令

5、这样可以解出 x=1

我这样做的目的是为了让 f（x） 中 a,b 的系数与要找范王板围的 a+2b 成比例。假如题目是让我们求2a+3b  的范围，那就

6、然后呢？所以呢？

然后啊，咱还得看上面解出来的 x=1 是否在所给的区间[-2,2]  ？

在！然后呢？

然后，因为 f(x)≥0在 [-2,2]  上恒成立，那随仗自然有 f(1)≥0 恒成立，从而得到

 f（ x）=-a-2b+2≥0，解得 a+2b≤1 恒成立.

7、完了吗？没有！当一个不等式建立起来的时候，能不能取到最值，显得格外重要。老唐举个例子：-x²+1≤2恒成立！

没问题啊！但是去得到那个“2  ”吗？取不到！因为 -x²+1 的最大值为  1.

所以，当咱们找到 a+2b≤2 的时候先别高兴太早，得考察考察不等号右边的 2 能取到吗？

能，当 a=0 ，b=0  的时候可以同时满足 a+2b=2 取到最大值  2并保证f(x)≥0  恒成立.

搞定！

1、再看：

2、这个题对称轴不固定，哼哼，你不如讨论讨论试试 .

3、解得 x=-1/2 ，x=3  ，它们都在区间 [-4,4] 上.

4、当 a=2/7 ， b=4/7 时，同时满足 5a+b 取到最大值2  并保证 f(x)≥0 恒成立.

5、当 a=1/21 ，b=-12/21  时，同时满足5a+b  取到最小值 -1/3 并保证 f(x)≥0 恒成立.

那么答案就是[-1/3,2]

6、等等！还有个问题，上面的“ a=0，b=1  ”“a=2/7 ，b=4/7 ”“a=1/21 ，b=-12/21 ”是怎么来的？

我猜的，你信吗？