由正方形的隐函数方程引发的思考

1、首先，移项，然后，两边取平方值，展开，并化简：

FullSimplify[Expand[(Abs[x + y + 1])^2 == (1 - Abs[x - y])^2], 

 Refine[Element[{x, y}, Reals]]]

得到下面的式子：

x + y + 2 x y + Abs[x - y] == 0

它的图像如下：

2、看看原来的正方形方程式的图像：

ContourPlot[{x + y + 2 x y + Abs[x - y] == 0, 

  Abs[x + y + 1] == 1 - Abs[x - y]}, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]

3、对x + y + 2 x y + Abs[x - y] == 0移项，并两边平方，化简：

FullSimplify[Expand[(x + y + 2 x y)^2 == (Abs[x - y])^2], 

 Refine[Element[{x, y}, Reals]]]

得到的式子是：

x (1 + x) y (1 + y) == 0

图像如下。

4、如果正方形的隐函数方程用另一种方法变形：

Expand[(Abs[x - y])^2 == (1 - Abs[x + y + 1])^2]

Expand[(x - y)^2 == 1 - 2 Abs[1 + x + y] + (1 + x + y)^2] // Simplify

就可以得到下面的式子：

1 + x + y + 2 x y == Abs[1 + x + y]

其图像如下。

5、正方形恰好就是步骤1和上一步的图形的公共部分（交集）。

ContourPlot[{1 + x + y + 2 x y == Abs[1 + x + y], 

  x + y + 2 x y + Abs[x - y] == 0, 

  Abs[x + y + 1] == 1 - Abs[x - y]}, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, 

 PlotPoints -> 50]

6、而它们的并集，恰好就是四条直线的全体。

ContourPlot[{1 + x + y + 2 x y == Abs[1 + x + y], 

  x + y + 2 x y + Abs[x - y] == 0, x (1 + x) y (1 + y) == 0}, {x, -2, 

  2}, {y, -2, 2}, PlotPoints -> 50]