【抽象代数】特征为零的域的有限扩域的本原元

1、我们用根号2、根号3、根号5来扩展有理数域Q为K。

2、我们试图找到一个元素γ，可以独自把Q扩展为K。

3、根号2在有理数域的本原既约多项式记为f(x)。

4、根号3的本原既约多项式记为g(x)。

5、我们根据g(x)来构造一个以根号2为根的多项式h(x)。

6、f和h只有一个根相同，那就是根号2，另一个根是不同的。

7、在域Q[sqrt(2)+sqrt(3)]里面分解多项式h(x)。

这说明，根号2属于Q[sqrt(2)+sqrt(3)]。

同样的，根号3也属于Q[sqrt(2)+sqrt(3)]。

所以，sqrt(2)+sqrt(3)是Q[sqrt(2),sqrt(3)]的一个本原元。

8、于是，要寻找K的本原元，只需要寻找Q[sqrt(2)+sqrt(3),sqrt(5)]的本原元。

把sqrt(2)+sqrt(3)在有理数域的本原既约多项式记为p(x)，

把sqrt(5)在有理数域的本原既约多项式记为q(x)，

那么根据q(x)构造一个以sqrt(2)+sqrt(3)为根的多项式r(x)。

r(x)和p(x)只有一个相同的根，且r(x)是Q[sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5)]里面的可约多项式，可以分解因式。

这说明，sqrt(2)+sqrt(3)属于Q[sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5)]，

同样的，sqrt(5)也属于Q[sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5)]。

9、综上所述，可以说明，sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5)是K的一个本原元。

当然，这个域还有很多其它本原元，这里不再一一列举。