【抽象代数】给定集合生成的群的Cayley图

1、如果集合S含有三个元素：

{{{0, 0, 0, 1}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {1, 0, 0, 0}}, 

 {{0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 1}, {1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}}, 

 {{0, 1, 0, 0}, {1, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 1}, {0, 0, 1, 0}}}

2、那么集合S就可以生成一个八阶群G，根据S来绘制G的Cayley图，如下：

3、S={{{0, 0, 0, 1}, {0, 0, 1, 0}, {0, 1, 0, 0}, {1, 0, 0, 0}},

      {{0, 0, 0, 1}, {1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}}}

生成的也是八阶群，但Cayley图与上图不太一样。

4、S={{{0, 0, 0, 1}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {1, 0, 0, 0}}, 

      {{0, 1, 0, 0}, {0, 0, 0, 1}, {0, 0, 1, 0}, {1, 0, 0, 0}}}

S的元素包括二阶元素一个、三阶元素一个，此时生成的群是六阶群。

5、S={{{0, 0, 0, 1}, {0, 0, 1, 0}, {0, 1, 0, 0}, {1, 0, 0, 0}}, 

      {{0, 0, 0, 1}, {0, 1, 0, 0}, {1, 0, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}}}

S的元素包括二阶元素一个、三阶元素一个，此时生成的群是十二阶群。

它是s4的唯一的二阶子群，此时的Cayley图如下：

6、如果S等于：

{{{0, 0, 0, 1}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {1, 0, 0, 0}}, 

 {{0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 1}, {1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}}, 

 {{0, 0, 1, 0}, {0, 1, 0, 0}, {1, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 1}}}

G是24阶群，恰好就是s4。但是因为几何S有3个元素，所以Cayley也有三种不同颜色的箭头。

因为S中的元素都是二阶的，因此Cayley图中只有二阶轨道。

这与下文中的s4的Cayley图不一样。

7、S={{{0, 0, 0, 1}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {1, 0, 0, 0}}, 

      {{0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 1}, {1, 0, 0, 0}}}

生成s4，但S的两个元素分别是二阶和四阶的，因此Cayley图中的轨道，分别是二阶和四阶的。

8、S={{{0, 0, 0, 1}, {0, 0, 1, 0}, {0, 1, 0, 0}, {1, 0, 0, 0}}, 

      {{0, 0, 0, 1}, {0, 0, 1, 0}, {1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}}, 

      {{0, 0, 0, 1}, {0, 1, 0, 0}, {1, 0, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}}}

S中二阶、三阶、四阶元素各一个，请读者在Cayley图中找出所有的二阶、三阶、四阶轨道。