Mathematica应用——有趣的绝对值方程

1、有一个有趣的问题：Abs[x y]+Abs[x-y+1]==0的图像是什么？

我冒冒失失的用Mathematica作图：

ContourPlot[Abs[x y]+Abs[x-y+1]==1,{x,-1.5,0.5},{y,-0.5,1.5}]

结果一无所获，即使扩大作图范围也不行。思考了一下之后，决定作对应的等高线图，并适当增加等高线的密度：

ContourPlot[Abs[x y]+Abs[x-y+1],{x,-1.5,0.5},{y,-0.5,1.5},Contours->60]

可以发现，当Abs[x y]+Abs[x-y+1]的值慢慢变小的时候，图像渐渐由一个整体裂开为两个部分，最后缩为两个点。

2、我比较感兴趣的是，如果Abs[x y]+Abs[x-y+1]==n的图像是一条曲线（而不是两条），那么n的最小值是多少？

初步估计，n不会小于0.25！

3、可以证明Abs[x y]+Abs[x-y+1]==n的图像是轴对称图形，对称轴是直线x+y=0。

观察发现，Abs[x y]+Abs[x-y+1]==n的图像是从对称轴附近先裂开的。所以当x+y=0和Abs[x y]+Abs[x-y+1]==n只有一个交点的时候，是图像从一支变成两支的临界点。

此时，x=-y，x^2+Abs[2x+1]==n有且仅有一个解。

于是，如果Abs[x y]+Abs[x-y+1]==n的图像是一条曲线（而不是两条），那么n的最小值是可求的！大家思考一下吧！

1、解方程组：{Abs[x+1]+Abs[y-2]==3,Abs[x+1]==2 y-4}

先分别画出这两个方程式对应的图像：

ContourPlot[{Abs[x+1]+Abs[y-2]==3,Abs[x+1]==2 y-4},{x,-5,5},{y,-5,5}]

Mathematica可以分别给这两个图像着不同的颜色。

2、直接解这个方程组，是Mathematica的基本功能：

Solve[{Abs[x+1]+Abs[y-2]==3,Abs[x+1]==2 y-4},{x,y}]

有两个解，与图像相符！

3、可是，为什么在一般情况下，会有四个解呢？如下：

Assuming[a>0,Solve[{Abs[x+1]+Abs[y-2]==a,Abs[x+1]==2 y-4},{x,y}]]

具体的作图过程显示，不可能会有四个解啊！这是怎么回事？

原来是有增根，可以检测一下：

解=Solve[{Abs[x+1]+Abs[y-2]==a,Abs[x+1]==2 y-4},{x,y}]/.a->6

{Abs[x+1]+Abs[y-2]-6,Abs[x+1]-2 y+4}/.解