y=(x^3+4x^2).(x-1)^2的图像示意图

1、※.函数的定义域

∵x-1≠0，

∴x≠1，即函数的定义域为：

(-∞,1)∪(1,+∞）

2、∵y=(x^3+4x^2)/(x-1)^2

∴dy/dx

=[(3x^2+8x)(x-1)^2-2(x-1)(x^3+4x^2)]/(x-1)^4

=[(3x^2+8x)(x-1)-2(x^3+4x^2)]/(x-1)^3

=x[(3x+8)(x-1)-2(x^2+4x)]/(x-1)^3

=x(x^2-3x-8)/(x-1)^3

3、令dy/dx=0，则x1=0或x^2-3x-8=0.

当x^2-3x-8=0时，有：

x2=(3-√41)/2，x3=(3+√41)/2.

(1).当x∈((3-√41)/2,0), (1,(3+√41)/2]时，

dy/dx＜0，此时函数y为减函数；

(2).当x∈(-∞，(3-√41)/2],[0,1),((3+√41)/2，+∞)时，

dy/dx＞0，此时函数y为增函数。

4、函数的凸凹性

∵dy/dx=(x^3-3x^2-8x)/(x-1)^3

∴d^2y/dx^2

=[(3x^2-6x-8)(x-1)^3-3(x^3-3x^2-8x)(x-1)^2]/(x-1)^6

=[(3x^2-6x-8)(x-1)-3(x^3-3x^2-8x)]/(x-1)^4

=(22x+8)/(x-1)^4

=2(11x+4)/(x-1)^4  

5、令d^2y/dx^2=0,则：

则: 11x+4=0，即x=-4/11.

(1).当x∈(-∞，-4/11)时，d^2y/dx^2＜0，

此时函数y为凸函数；

(2).当x∈(-4/11,1)∪(1，+∞)时，

d^2y/dx^2＞0，此时函数y为凹函数。

6、函数五点图：函数上部分点解析如下表所示，横坐标和纵坐标。

x

-5.7

-4.7

-3.7

-2.7

-1.70

y

-1.23

-0.47

0.185

0.692

0.911

7、函数上部分点解析如下表所示，横坐标和纵坐标。

x

-1.70

-1.03

-0.36

-0.18

0

y

0.911

0.764

0.255

0.088

0

8、综合以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性和极限等性质，函数的示意图如下：