画函数y=e^(x+4y)的图像的主要步骤

1、令F＇(y)=0，则y=1/4.

当0<y<1/4时，F＇(y)>0;当y>1/4时，F＇(y)<0.

所以，当y=1/4时，F(y)有最大值，即：

x=F(y)≤F(y)max=-(1+ln4)

x≤-(1+ln4)/1≈-2.39

即曲线方程的定义域为：(-∞，-2.39]。

2、本题曲线的定义域计算过程如下。

3、函数y=e^(x+4y)的单调性，通过函数的一阶导数，求出函数y的单调区间。

4、对方程两边同时对x求导，得：

y=e^(x+4y)

y＇=e^(x+4y)(1+4y＇)

y＇=e^(x+4y)/[1-4e^(x+4y)]

即：y＇=y/(1-4y).

导数y＇的符号与(1-4y)的符号一致。

曲线方程的单调性为：

(1).当y∈(0,1/4]时，y＇＞0，此时曲线方程y随x的增大而增大；

(2).当y∈(1/4,+∞）时，y＇＜0，此时曲线方程y随x的增大而减小。

5、     函数的凸凹性性，计算该隐函数的二阶导数，通过函数的二阶导数的符号，判断函数的凸凹性，并求解y=e^(x+4y)的凸凹区间。

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7、函数y=e^(x+4y)上的部分点，函数五点图表如下：

8、综合以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性和极限等性质，函数y=e^(x+4y)的示意图如下：