三角形A(4,1),B(7,5),C(-4,7)，求角A平分线方程

1、  [解题思路]：因为是角平分线，利用角平线定理即两点间距离公式来求点D，进而求其方程。

2、根据两点间距离公式得到：

AC=√[(4+4)^2+(1-7)^2]=10;

AB=√[(7-4)^2+(5-1)^2]=5;

BC=√[(-4-7)^2+(7-5)^2]=5√5.

设CD=x,则BD=5√5-x。

3、根据角平分线定理得到：

   BD/DC=AB/AC

   所以：

   (5√5-x)/x=5/10,得到：x=10√5/3,则CD=10√5/3,BD=5√5/3.

   设D（m,n）,因为D在直线BC上，则有：

   (n-5)/(m-7)=(5-7)/[7-(-4)]，即:

   11n+2m-69=0

   2m=69-11n……(1)

4、CD^2=x^2=500/9=(m+4)^2+(n-7)^2…..(2)

BD^2=125/9=(m-7)^2+(n-5)^2…..(3)

(3)-(2)得到：

 375/9=8m+14m-14n+10n+16+49-49-25

化简：22m-4n-9=375/9

将(1)代入上式得到：

11（69-n）-4n-9=375/9

750-125n=375/9

125(6-n)=125*3/9

所以n=17/3,进一步得到m=10/3. 即D（10/3,17/3）.

则AD的斜率k=(17/3-1)/(10/3-4)=-7.

所以角平分线的方程为：

y-1=-7(x-4)

即：7x+y-29=0.

1、   [解题思路]:利用到角公式求出所求直线的斜率，直线经过A点，用点斜式即可得到直线方程。

2、直线AC的斜率k1=（7-1）/(-4-4)=-3/4

直线AB的斜率k2=(5-1)/(7-4)=4/3.

设∠CAD=∠DAB=∠a，角平分线的斜率=k，由到角公式得到：

(k-k2)/(1+k2·k）=（k1-k)/(1+k1·k）

代入数值得到：

(k-4/3)/(1+4k/3)=(-3/4-k)/(1-3k/4)

化简得到：

（3k-4）^2=(4k+3)^2

得到：k=-7或者k=-1/7,

因为k<k1,所以k=-7.

点斜式得到角平分线方程为：

y-1=(-7)(x-4)

即：7x+y-29=0.

1、   [解题思路]：利用向量点乘的有关知识进行求解。

2、   设D（m,n）,因为D在直线BC上，则有：

   (n-5)/(m-7)=(5-7)/[7-(-4)]，即:

   11n+2m-69=0

   2m=69-11n……(1)

3、向量AC=(-8，6),向量AD=(m-4,n-1)，则：

向量AC·向量AD=-8(m-4)+6(n-1)

=|AC|*|AD|*cos∠CAD………(2)

向量AB=(3，4),向量AD=(m-4,n-1)，则：

向量AB·向量AD=3(m-4)+4(n-1)

=|AB|*|AD|*cos∠DAB………(3)

4、(2)/(3)得到：

[-8(m-4)+6(n-1)]/[ 3(m-4)+4(n-1)]=|AC|/|AB|=2

所以：

n+7m=29………(4)

由(1)、（4）解方程得到：

m=10/3,进而得到n=17/3，即D（10/3,17/3）.

则AD的斜率k=(17/3-1)/(10/3-4)=-7.

所以角平分线的方程为：

y-1=-7(x-4)

即：7x+y-29=0.