两个正弦函数值sin33、sin33.1度的近似计算

1、      详细介绍通过为微积分知识，即使用微分法、泰勒展开法计算sin33°及sin33.1°近似值的主要思路和步骤。主要公式：sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,y=sinx，则y´=cosx，即dy=cosxdx。

2、∵(sinx)´=cosx

∴dsinx=cosxdx.

则有△y≈cosx△x，此时有：

sinx=sinx0+△y≈sinx0+cosx0△x。

需要注意的是，计算中的△x若是角度要转化为弧度。对于本题有：

x=33°=30°+△x,△x=0.052。

则：

sin33°≈sin30°+cos30°*0.052，

≈sin30°+cos30°*0.052，

≈0.545。

3、sinx=x-x3/3!+x5/5!-x7/7!+...+(-1)n*x2n+1/(2n+1)!,

cosx=1-x2/2!+x4/4!+...+(-1)n*x2n/2n!。

其中：n≥0，x为任意实数，即弧度制形式。

4、sinx=sin(x-π/6+π/6)

=(√3/2)sin(x-π/6)+(1/2)cos(x-π/6)

=1/2+1/2[√3(x-π/6)-(x-π/6)2/2!-√3(x-π/6)3/3!

+(x-π/6)4/4!+√3(x-π/6)5/5!-...]。

5、对于本题：x-π/6=11π/60-π/6≈0.052,则：

sin33°

≈1/2+(√3/12)*0.052*(6-0.0522-√3*0.052)

≈0.544。

6、∵(sinx)´=cosx

∴dsinx=cosxdx.

则有△y≈cosx△x，此时有：

sinx=sinx0+△y≈sinx0+cosx0△x。

x=33.1°=30°+△x,△x=0.054。

则：

sin33.1°≈sin30°+cos30°*0.054，

≈sin30°+cos30°*0.054，

≈0.547。

7、sinx=sin(x-π/6+π/6)

=(√3/2)sin(x-π/6)+(1/2)cos(x-π/6)

=(√3/2)∑<n=0,∞>(-1)n*(x-π/6)2n+1/(2n+1)!

+(1/2)∑<n=0,∞>(-1)n*(x-π/6)2n/(2n)!

=(1/2)[1+√3(x-π/6)-(x-π/6)2/2!-√3(x-π/6)3/3!

+(x-π/6)4/4!+√3(x-π/6)5/5!-...]

=1/2+1/2[√3(x-π/6)-(x-π/6)2/2!-√3(x-π/6)3/3!

+(x-π/6)4/4!+√3(x-π/6)5/5!-...]。

8、sinx

≈1/2+(√3/2)[(x-π/6)-(x-π/6)3/3!]-(x-π/6)2/4

≈1/2+(x-π/6)[(√3/2)-(√3/12)(x-π/6)2-(x-π/6)/4]

≈1/2+(1/12)(x-π/6)[6√3-√3(x-π/6)2-3(x-π/6)]

≈1/2+(√3/12)(x-π/6)[6-(x-π/6)2-√3(x-π/6)]

对于本题：x-π/6=331π/1800-π/6≈0.054,则：

sin33.1°

≈1/2+(√3/12)*0.054*(6-0.0542-√3*0.054)

≈0.546。