函数y=√x(19x+89.x)的图像示意图

1、※.函数的定义域

∵√x有x≥0；对89/x有x≠0.

∴函数的定义域为：(0，+∞）。

2、※.函数的单调性

∵y=√x(19x+89/x)

=19x^(3/2)+89x^(-1/2),对x求导得：

∴dy/dx

=(3/2)*19x^(1/2)-(89/2)x^(-3/2)

=(1/2)x^(-3/2)(3*19x²-89).

令dy/dx=0,则x²=89/57.

又因为x>0，则x=(1/57)√5073≈1.25.

(1)当x∈(0, (1/57)√5073)时，dy/dx＜0,函数y为单调减函数；

(2)当x∈[(1/57)√5073,+∞)时，dy/dx＞0,函数y为单调增函数。

3、※.函数的凸凹性

∵dy/dx=(1/2)x^(-3/2)(3*19x²-89)，

∴d^2y/dx^2

=-3/4*x^(-5/2)(3*19x²-89)+3*19x*x^(-3/2)

=-3/4*x^(-5/2)(3*19x²-89)+3*19x^(-1/2)

=-3/4x^(-5/2)(3*19x²-89-4*19x²)

=3/4x^(-5/2)(19x²+89)>0,则：

函数y在定义域上为凹函数。

4、※.函数的极限

Lim(x→0) √x(19x+89/x)=+∞

Lim(x→+∞) √x(19x+89/x)=+∞。

5、综合以上函数的相关性质，结合函数的定义域，即可简要画出函数的示意图。