不定积分∫39x³/√59-30x²的计算步骤

1、介绍通过分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，计算不定积分的详细过程与步骤。

1、解法一：思路：根据分子分母的关系，直接变形化简使用凑分法求得：

I=-∫(13/10)[x(59-30x^2)-59x]dx/√(59-30x^2)

=-(13/10)∫x(59-30x^2)dx/√(59-30x^2)+ (767/10)∫xdx/√(59-30x^2)

=-(13/10)∫x√(59-30x^2)dx-(2301/2)*1/30^2∫d(59-30x^2)/√(59-30x^2)

=-39*1/30^2∫√(59-30x^2)d(59-30x^2)- 2301*1/30^2√(59-30x^2)

=26*1/30^2√(59-30x^2)^3-2301 *1/30^2*√(59-30x^2)+c

2

1、解法二：思路：利用不定积分的分部积分方法求得：

  I=39∫x^2*xdx/√(59-30x^2)

   =-(13/20)∫x^2d(59-30x^2)/√(59-30x^2)

   =-(13/20)∫x^2d√(59-30x^2)=-(13/20)x^2√(59-30x^2)+(13/20) ∫√(59-30x^2)dx^2

   =-(13/20)x^2√(59-30x^2)-(39/2)*1/30^2∫√(59-30x^2)d(59-30x^2)

   =-(13/20)x^2√(59-30x^2)-13*1/30^2√(59-30x^2)^3+c

2

1、解法三：

思路：利用三角函数的代换关系，进行三角换元积分求得。

设x=√(59/30)sint，则cost=(1/√59)√(59-30x^2),此时：

I=(2301/30)*√(59/30)∫sin^3td[√(59/30)sint]/√(59-59sin^2t),

=39*(59/30)^2∫sin^3tcostdt/√59*cost,

=(2301√59 /30^2)∫sin^3tdt,

2、=(2301√59 /30^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

=(2301√59 /30^2)∫sintdt-(2301√59 /30^2)∫sintcos^2 tdt

=-(2301√59 /30^2)cost+(2301√59 /30^2)∫cos^2tdcost=-(2301√59 /30^2)cost+(2301√59 /3*30^2)cos^3t+c

 =-(2301/30^2)√(59-30x^2)+13*(1/30^2)√(59-30x^2)^3+c.