【抽象代数】群元素的阶习题一则

1、因为a是5阶元素，所以a a a a a=1，是群G的单位元。

这里，把群的二元运算规则默认为乘法。

2、第二个已知条件是：a^3 b == b a^3，铺开之后，变成了：

a a a b==b a a a。

3、两边同时左乘两次a：

a a a a a b==a a b a a a。

注意，群元素的运算，一般是不可以交换位置的。

4、左边的部分，使用结合律，发现它等于b：

b == (a a a a a ) b == a a b a a a。

5、再一次左乘一个a：

a b == a a a b a a a。

6、在右边采用结合律：

a b == (a a a b ) a a a == (b a a a ) a a a。

7、再次采用结合律：

a b == b a (a a a a a) == b a。

8、把整个证明过程整理一下，如下图。