用Mathematica探索不等式问题一则

1、题目是：

给定实数a和b，如果a+b=1，求证：

(a + 2)^2 + (b + 2)^2 >= 25/2

2、这里使用机器证明。

3、反过来考虑，当(a + 2)^2 + (b + 2)^2 <= 25/2时，a+b的值域是多少？

Mathematica给出的答案是，a+b最小值是-9，最大值是1。

4、原问题可以加强为：

给定实数a和b，如果a+b>=1或者a+b<=-9，都有：

(a + 2)^2 + (b + 2)^2 >= 25/2

5、当(a + 2)^2 + (b + 2)^2 <= 25/2时，2a+3b的取值范围是：

[-(5/2)*(4 + Sqrt[26]),5*(-4 + Sqrt[26])/2]

6、也就是说，当2a+3b的值在区间(-(5/2)*(4 + Sqrt[26]),5*(-4 + Sqrt[26])/2)之外的时候，

(a + 2)^2 + (b + 2)^2 >= 25/2恒成立。