求单位圆外（2,4）割线中点轨迹方程

1、       用轨迹性质法等介绍由圆x^2+y^2=1外一点p（2,4）引圆的割线交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。

2、此时单位圆x^2+y^2=1与点(2，4)在同一坐标系示意图为。

3、直接求法，根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数等式，并根据在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点的连线垂直于弦，从而求出轨迹方程。

4、    轨迹性质定义法，根据题设条件，判断并确定轨迹的曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。

解:∵M（x,y）是AB的中点，所以OM⊥AB,点M的轨迹是以OP为直径的圆，圆心为(1,2)，半径r=|op|，圆的方程为：

(x-1)2+(y-2)2=[(2-0)2+(4-0)2],化简，得:

x2-2x+1+y2-4y+4=*22+*42,即所求圆割线中点的轨迹方程为：x2+y2-2x-4y=0,其中：-1≤x≤1.

5、解:设过p点的割线的斜率为k，则过p点的割线方程为：y-4=k(x-2),

∵OM⊥AB且过原点，

∴OM的方程为y=-1k*x，即：ky=-x。

这两条直线的交点就是M点的轨迹。

由割线方程得：k=y-4x-2 ,代入OM方程得：

y-4x-2*y=-x，化简得：

y(y-4)=-x(x-2)

y2-4y=-x2+2x,即所求轨迹方程为：

x2+y2-2x-4y=0,其中：-1≤x≤1.

6、将动点坐标表示成某一中间变量即参数的函数，再设法消去参数。由于动点M(xi,yi)随直线的斜率变化而发生变化，所以动点M的坐标是直线斜率的函数。

7、解：设过P点的割线方程为：y-4=k(x-2), 它与圆

x2+y2=R2的两个交点为A、B，AB的中点为M.解方程组:

y-4=k(x-2),

x2+y2=1

消去y得：x2+(kx-2k+4)2=1,即：

   (1+k2)x2-2k(2k-4)x+(4-2k)2-1=0,

8、根据曲线和方程的对应关系：点在曲线上则点的坐标满足方程。这里由于中点M的坐标(x,y)与两交点A(x1,y1),B(x2,y2)通过中点公式联系起来，又点P、M、A、B构成4点共线，根据它们的斜率相等，可求得轨迹方程。

9、解：设M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则:

x1+x2=2x,y1+y2=2y，

∵x12+y12=1，x22+y22=1，两式减得：

(x2-x1)(x2+x1)+(y2-y1)(y1+y2)=0,