【抽象代数】3阶对称群的二维矩阵表示

1、群的二维矩阵表示里面，必须有单位矩阵：

from sympy import *

c=Matrix([[1,0],[0,1]])

c

2、设正三角形ABC的中心为O，以OA、OB为基，那么，OC的坐标向量就可以写为[-1,-1]。

这样，又得到两个群元素：

a=Matrix([[0,1],[1,0]])

b=Matrix([[1,0],[-1,-1]])

3、先看看python是怎么实现矩阵乘法的：

a*b

4、现在有了三个群元素的矩阵表示。我们要从这三个元素出发，通过矩阵乘法，来构造整个群。

def cf(G):

    A=[]

    for i in G:

        for j in G:

            k=i*j

            if k not in A:

                A.append(k)

    return A

这是一个自定义函数，用来确定某个集合的乘法表里面的所有元素。

5、第一次作乘法表，得到五个元素。

6、判断一下，此时的G是不是一个群。

前后元素数目不相等，所以G还不是群。

7、用while循环重复构造乘法表，直到G与乘法表cf(G)的元素数目一样多。

8、G==cf(G)说明G是一个群。这样，群S3的一个二维矩阵表示，就实现了。