【抽象代数】两个环的直积也是一个环吗？

1、环需要两种运算法则。加法的定义是：

2、先证明加法保持R封闭：

∵a、b∈P，

∴a+b∈P，

同理a'+b'∈Q，

∴(a+b,a'+b')∈R

3、加法满足交换律：

a+b=b+a

a'+b'=b'+a'

4、R的每个元素都有加法逆

我们用0P表示P的零元素，用0Q表示Q的零元素，那么，(0P,0Q)就是R的零元素。

设a'是a在P里面的加法逆，b'是b在Q里面的加法逆，那么，(a',b')就是(a,b)在R中的加法逆。

综上所述，R是一个加法的Abel群。

5、乘法的定义：

6、证明，乘法满足结合律，还有，乘法与加法的结合满足分配率。