Mathematica基础——曲线的内蕴性质之曲率

1、圆弧上的任意位置的曲率都是常数：

ArcCurvature[{r Sin[t], r Cos[t]}, t]

2、直线的曲率处处为0：

ArcCurvature[{a+t,b-t}, t]

3、Fermat螺旋的极坐标方程是：r=Sqrt[t]。怎么计算它的曲率呢？方法如下：

Simplify[ArcCurvature[{t, t^2}, t, "Polar"], t > 0]//TraditionalForm

4、曲率半径等于曲率的倒数：

双纽线[t_] := Cos[t]/(1 + Sin[t]^2) {1， Sin[t]}

双纽线曲率半径=1/ArcCurvature[双纽线[t]，t]

5、曲线的总曲率：

绘制一个三叶结，

三叶结 = KnotData["Trefoil", "SpaceCurve"]

画图：

ParametricPlot3D[三叶结[t],{t,0,2 Pi},

     PlotStyle->{Green,Tube,Thickness[0.02]}]

根据Fary–Milnor 定理，任何纽结的总曲率不能＜4π，所以，

总曲率=NIntegrate[ArcCurvature[三叶结[t], t]*Norm[三叶结'[t]], {t, 0, 2 Pi}]