函数y=x^3-3x的主要性质及其图像

1、       本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限和奇偶性等性质，介绍函数用导数工具画函数y=x^3-3x的图像的主要步骤。

1、根据函数特征，函数自变量可以取全体实数，即定义域为：(-∞，+∞）。

2、通过函数的一阶导数，求出函数驻点，由一阶导数的正负，判断函数的单调性，进而得到函数的单调区间。

3、二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍然是x的函数，则y'=f'(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。

4、函数的极限，对于本题，主要是在正无穷处和负无穷处的极限，即求出函数在无穷处的极限。

5、根据函数的奇偶性的判断方法，对于本题由于f(-x)=-f(x),所以函数为奇函数，函数图像关于原点对称，主要判断过程如下图所示：

6、本题三次奇函数图像上部分点，列出五点示意图解析函数上的五点图如下表所示。

7、根据以上函数的定义域、单调性、凸凹性、奇偶性以及极限等相关性质，并在函数的定义域前提下，即可简要画出函数的图像，且该图像关于原点对称。

1、已知函数y=x^3-3x,求切线及极值问题。

2、当x=0时，y(1)=1*0-3*0=0;

y=1^3-3x,求导得：

y´=2x2-3,当x=0时，

y´(1)=2*02-3=-3，即为切线的斜率。

则切线的方程为:

y-0=-3(x-0),化为一般方程为：

y+3x=0。

3、√3/2y´=2x2-3，令y´=0，则x=±√3/2 .

1).当x∈(-∞，-√3/2 )和(√3/2 ，+∞)时，

y´>0,此时函数y为单调增函数，所求区间为单调增区间。

2).当x∈[-√3/2 ,√3/2 ]时，

y´<0,此时函数y为单调减函数，所求区间为单调减区间。

则在x1=-√3/2 处取极大值，在x2=√3/2 处取极小值。

所以：

极大值=f(-‍√3/2 )

=-(√3/2 )3-3*(-√3/2 )=3√6/4;

极小值=f(√3/2 )

=(√3/2)3-3*(√3/2 )=-3√6/4。