用Mathematica绘制微分方程的图形

1、        给出微分方程y''(x)+y(x)==1，求其的通解：

DSolveValue[y''[x] + y[x] == 1, y[x], x]

        得到的通解是：c2*sin(x)+c1*cos(x)+1。

        显然，通解是不可能作出图像的！

        但是，我们可以对c1、c2赋予不同的值，再用Show+Table，把所作的图放到一起（注意，大写字母C是Mathematica的内部函数，因此，作图的时候，要把C全部换成c）：

Show[Table[

  Plot[1 + c[1] Cos[x] + c[2] Sin[x], {x, -2 Pi, 2 Pi}],

 {c[2], -1, 1,0.5}, {c[1], -1, 1, 0.5}]]

2、        用NDSolveValue 可求出微分方程的数值解（俗称——特解）：

NDSolveValue[{y'[x] == Cos[x^6 + x + 1], y[0] == 0}, y[x], {x, -5, 5}]

        没有给出公式，但是不妨碍作图：

Plot[%, {x, -5, 5}]

3、        求二元微分方程组的特解：

{xsol, ysol} = 

 NDSolveValue[{

x'[t] == -3 y[t] - x[t]^2, 

y'[t] == Sqrt[3] x[t] - y[t]^3, 

x[0] == y[0] == 1}, {x, y}, {t, 100}]

        把结果作为参数方程，来进行作图，这是混沌现象：

ParametricPlot[{xsol[t], ysol[t]}, {t, 0, 100}]

4、        用互动效果演示一下上图的作图过程：

Manipulate[ ParametricPlot[{xsol[t], ysol[t]}, {t, 0, a}], {a, 0.01, 100}]

Manipulate[ ParametricPlot[{xsol[t], ysol[t]}, {t, 0, a}], {a, 0.01, 100，0.1}]

Manipulate[ ParametricPlot[{xsol[t], ysol[t]}, {t, 0, a}], {a, 0.01, 10，0.001}]

5、        这个让我想到了著名的“Lorenz吸引子”，需要满足的微分方程组是：

x' (t)=-10(x(t)+y(t) )

y' (t)=x(t)(-z(t) )+28x(t)-y(t)

z' (t)=x(t)y(t)-(8z(t))/3

        “Lorenz吸引子”的每一个点由{x(t),y(t),z(t)}确定，t是时间参数。我们先来解出{x(t),y(t),z(t)}当x(0)=z(0)=0,y(0)=1时的数值解：

NDSolve[{x'[t] == -10 (x[t] - y[t]), 

  y'[t] == -x[t] z[t] + 28 x[t] - y[t], 

  z'[t] == x[t] y[t] - (8/3) z[t], 

  x[0] == z[0] == 0, y[0] == 1}, 

  {x, y, z}, {t, 0, 200}, MaxSteps -> Infinity]

6、        然后在三维空间里，画出它的图像：

ParametricPlot3D[Evaluate[{x[t], y[t], z[t]} /. %], {t, 0, 200}, 

 PlotPoints -> 50000]