函数y=√x(49x+13/x)的图像示意图

1、※.函数的定义域

∵√x有x≥0；对13/x有x≠0.

∴函数的定义域为：(0，+∞）。

2、※.函数的单调性

∵y=√x(49x+13/x)

=49x^(3/2)+13x^(-1/2),对x求导得：

∴dy/dx

=(3/2)*49x^(1/2)-(13/2)x^(-3/2)

=(1/2)x^(-3/2)(3*49x²-13).

3、令dy/dx=0,则x²=13/147.

又因为x>0，则x=(1/21)√39≈0.30.

(1)当x∈(0, (1/21)√39)时，dy/dx＜0,函数y为单调减函数；

(2)当x∈[(1/21)√39,+∞)时，dy/dx＞0,函数y为单调增函数。

4、∵dy/dx=(1/2)x^(-3/2)(3*49x²-13)，

∴d^2y/dx^2

=-3/4*x^(-5/2)(3*49x²-13)+3*49x*x^(-3/2)

=-3/4*x^(-5/2)(3*49x²-13)+3*49x^(-1/2)

=-3/4x^(-5/2)(3*49x²-13-4*49x²)

=3/4x^(-5/2)(49x²+13)>0,则：

函数y在定义域上为凹函数。

5、Lim(x→0) √x(49x+13/x)=+∞

Lim(x→+∞) √x(49x+13/x)=+∞。

6、根据以上单调性、凸凹性、极限、奇偶性等，画出函数的示意图如下：