Mathematica计算区域面积/区域二重积分

1、从最简单的开始。如果读者对Integrate比较了解，可直接看第四步。

首先，我们使用Integrate对Exp[-(x+y)]计算二重积分。我们看到，其在整个R^2平面上积分的话是不收敛的。如果指定x,y>0则积分收敛到1.

2、为了演示方便，增加可视化方法介绍。

使用Plot3D函数对该函数进行可视化。增加参数PlotRange->Full表示显示完整不截取。

3、在绘图时，可以使用如图方式{x,y}∈Disk[]将坐标限制在单位圆内。

此外，还可以使用RegionFunction限制复杂的显示效果。

4、在积分Integrate中，使用{x,y}∈Disk[]将坐标限制在单位圆内。

对于复杂范围，可以将被积函数乘以Boole函数。Boole函数会判断其中的表达式，返回1或0。

使用N将解析结果化成数值结果，可见如图两种方式结果相同。

5、如果直接对Boole函数绘图，就是高低两层图像。

如果直接对Boole函数积分，就是面积。

6、Integrate是符号积分，支持不定参数。

如图，Mathematica会自动分类讨论a>=2/0<a<=1/1<a<2和其它。

如果不需要那么多讨论和计算，使用Assumptions进行假设。

语法为：Assumptions->和参数有关逻辑表达式

7、如图，是一个概率论习题中的具体案例。计算Exp[-(x+y)]在一个三角形区域内的积分。以及参数等于1.5时的可视化。